偏差とは？

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１．データのバラツキ（分布）はチェックシートやヒストグラムを使って視覚的に把握するのがよい．
３．バラツキは必ずしも”悪”とは限らない！（お急ぎの方は，コラム２バラツキは悪か？が面白い！）
表１(興味のある方はクリックして下さい)に示した昨年夏の東京と札幌における日中(9:00, 12:00,15:00)の気温を図１にチェックシート方式で東京と札幌に分けてプロットしたものを示します．
温度区分は，２℃間隔にしてありますが，あまり細かくしないで，全体が６から７区分位になるように，しかもあまり端数が出ない分かりやすい区切りにするのが，チェックシートやヒストグラムを作る時のコツです．最近はヒストグラムもパソコンで簡単に描けますが，データ数がこの程度（１００個前後）でしたら，手元にあるメモ用紙を使ってその場で直ぐチェックして作ってしまう方が簡単だし，チェックしながらデータの動きが直接分かるので，実用的だと思います．
この図を見て分かることは，東京では日中になると３０℃を超えた日が７０％以上もありましたが，札幌ではわずか３日だけですね．平均気温が２５℃から２６℃位ですから（プロット数がほぼ半々になる境目あたり）東京より５℃位涼しかったことが分かります．
それから，１ヶ月間のそれぞれの時刻における最高気温と最低気温の差は，札幌で異常と思われる７月３１日と８月１日を除けば，日中で１２℃位ですから，バラツキの目安としてよく使われる標準偏差(通常「シグマ」と呼ばれることが多い)は2.5℃前後であることも分かります．標準偏差については，これから詳しく説明します．
品質管理スタッフでなくても，標準偏差という言葉は聞いたことがあると思いますし，意味が良く分からないまま，使っている方も多いのではないかと思います．一般に，データをとってみると，集団としては本来同じと思われる場合でも，個々の値は少しずつ異なるのが普通です．理由はともかくとして，これらの現象をバラツキがあるとか，変動があると表現します．
バラツキや変動を数値で表すには，最大値と最小値の差をとって，範囲(Ｒ)と称して表現する簡単な方法もありますが，サンプル数が異なる場合や大きい場合には，あまり適切な方法とは言えません．
次に，個々の値と平均値からのズレ(偏差)を計算し，それらの絶対値の総和をデータ数で割れば，バラツキの目安になると考えた人がいたのですが，どういう訳か採用されませんでした．
これを更に一歩進めて偏差の２乗の総和を求め，データ数で割ったものを分散と定義し，この値のルート（平方根）を標準偏差と称してよく使われるようになりました．
一方，実際のデータを沢山測定して，それらの分布曲線を描いてみると，平均値を中心とした山の形になります．これを正規分布曲線と呼びますが，ほぼ２００年前に活躍したドイツの数学者であるガウスが数学的な理論付けを行ったことから，ガウス分布とも呼ばれています．
実は，このガウス分布曲線に，変曲点があるのですが，中心からの距離が何と標準偏差と一致すると言うのです．このあたりの意味については，詳しいことは私も分かりませんが，皆さんは一応，数学的根拠に基づいて，標準偏差というものが定義されたんだと理解してほしいと思います．なお，変曲点とは，カーブの向きが変わる境目のことで，自動車の運転で言えばＳ字カーブなどでハンドルを右から左へ切換える瞬間のポイントと思えばよいでしょう．
図２に，正規分布曲線を示しますが，実務面で重要なことは，全体の約６８％が平均値±シグマの間にあり，約９５％が平均値±２シグマの間にあるという事実です．つまり，標準偏差(シグマ)の意味は，１００個のデータの内，およそ９５個が平均値から±２シグマの間にあることを示すバロメータということなのです．この性質を利用すれば，ヒストグラムから，標準偏差を推定できることになります．データ数が３０個から１００個位なら異常値(外れ値)を除いて，最大値から平均値を引いた値の約４０％が，標準偏差と見ても大きく外れることはありません．
始めにデータの分布をプロットしてから，バラツキの代表的な例として標準偏差を説明したのは，本来グラフや分布を描いて，全体の様子を掴んでから，いわゆる基本統計量といわれる平均値や標準偏差で数値表現するのが正しいデータ解析の方法なのですが，ややもすると，代用特性である数値のみに頼って，本質を見失う傾向が見られるので，注意が必要だということを強調したかったからです．
日常生活の中で使われる「バラツキ」と言う言葉は，あまり良い印象を与えない感じがするが，果たして本当だろうか？何か品物を買う時，品質にバラツキがないか調べたり，場合によっては選んだりする．一般には価格も大きな判断基準なので，自分の納得できるレベルで決めることが多い．したがっていつもベスト・クオリティを求める訳ではない．
一方，生産者側では，多くの客に買ってもらえるように，同一製品であれば，できるだけバラツキの少ない製品を作ろうとするが，コストとの関係で，ある範囲のバラツキは容認した設計にする．一般に容認されるバラツキの幅は，その製品の使用目的に対して，機能上問題が生じない程度であって，いわゆる規格幅より多少狭いのが普通である．したがってその程度のバラツキは許される範囲であると消費者も納得している．
消費者の立場で，気になるバラツキとして，寿命とかアフターサービスがある．一般に購入時点では判断できないので，メーカーを信用するか，友人や知人，その他の情報から決めることになるが，アフターサービスなどは，会社や販売店によってバラツキが多く，ユーザーの不信を買うことが最近は多い．
自然現象やそれによって影響を受ける農作物などの場合は，経験的に認知されている範囲内であれば，それらのバラツキはやむを得ないものとして許されることが多い．天気や気温などは，自然のサイクルに合わせてある程度変化しないと，人間も含めて動植物の生態が狂ってくるので，大変なことになる．
中には，積極的にバラツキを利用する分野もある．発明や新製品開発などの仕事は，今までに無いものや環境を産み出すために，例外的な目標を求めて，いろいろな条件を組み合わせて実験したりして，意外性を追及する．通常の生産活動とは正反対の思考を必要とするので，どちらかと言えば変人扱いされる．
こうして見ると，バラツキにもいろいろなタイプがあることが分かるが，企業の経営者や管理者は，それぞれの分野に携わる社員に要求すべきパターンとそれらを実現しやすいような環境を合理的に考えて具体化しないと，企業は発展しないのだが，どの位気がついているだろうか？
Acrobat Readerが必要になりますが，左側のアイコンをクリックすればダウンロードできます．

[] バラツキの概念と標準偏差について
[引用サイト]　 http://homepage1.nifty.com/QCC/sqc2/sqc-2.html
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Last Updated 2007/ 02/ 12/ 22時38分40秒

調査とか測定を行って得たデータの集まりがあったとき、その集団の構造を端的に表現してしている代表的な言葉が平均値と偏差値です。
偏差値の出し方はともかくとして、平均値の出し方ぐらいはご存じだと思いますが、その概念的なものはどうでしょう。また、偏差値もよく聞く言葉ですが、何かモヤモヤした感じを抱いていませんか？これらはデータの集まりである集団構造を一言で表せる言葉ですので、統計にはよく用いられます。
平均値を求めるには、データを全て加え総個数で割る事で求めていますが、このやり方は算術平均と呼ばれています。平均にはこの他に幾何平均、調和平均がありますが、これらは特殊なもので、通常特に断りが無ければ平均と言えば算術平均の事を指しています。
幾何平均は比率の平均を出したいとき、対数正規分布の中心を求めるとき、人口の増加率の平均を求めるとき、細菌増殖時の平均算出などに用いられます。
調和平均は逆数に意味のある変数の平均値を出したいとき、例えば所要時間から平均速度を求める場合などに用いられます。この他、移動平均、加重平均などありますが、これらは算術平均の仲間です。
平均値とはよく分布の中心あるいは重心を表すと言われますが、図１に示すように分布の釣り合った位置をさしています。（重心と言われるのはこの為です）
平均値を表す記号は、集団ｘの平均値を表す時はとχの上に￣バーを付けて（バーエックスと読む）表します。￣が付いていると算術平均を表しています。
平均値は集団の構造を表すのに便利な指標ですが、例えば、図２のような分布を示すＡ，Ｂの２つの集団があるとします。
その分布は一方は広く、他方は狭い形をしています。互いに同じ平均値を持っていますが、分布状態がまるで違います。
そこで、平均値とは別に集団の分布のバラツキを表すものがあればそれもまた集団の構造を表す指標となります。
２つの分布を比較するとＡの平たい分布ではＸ１、Ｘ２やＸ９、ｘ１０となど平均値ｍから遠く離れた値がＢの尖った分布よりも多い事が分かります。そこで考えつくのが（Ｘ１－ｍ）、（Ｘ２－ｍ）などを考えてみる事でしょう。
この偏差を全てのＸについて計算し、その総和を取ればバラツキの尺度が得られそうな気がします。しかし、実際にやってみると偏差のプラス値とマイナス値が打ち消しあって、その総和は常にゼロになってしまいます。実はこれが平均値の持つ性質なのです。これではバラツキの尺度にならないので、偏差の符号を消す（マイナス値にならないようにする）事を考えます。数学的に符号を消すには絶対値を取る方法と２乗する方法があります。が絶対値はその適応条件等数学的な取り扱いが面倒であるので、２乗する事を考えます。（符号を消し去るだけなので４乗とか６乗でも良いのですが、差が大きいものほど過大に評価されるので一般に２乗が都合がよいでしょう。また、これとは別に２乗する事によって統計上のいろいろな公式と関連させられるので都合が良いのです。）
これによって得られる偏差の２乗の総和は、分布のバラツキ具合を表すことができますが、この総和はＸの個数に影響されるので、その影響を消すためにＸの総個数ｎで割ることにします。これは偏差の平均値を求めることに相当しています。このようにして得られたバラツキの尺度を分散と呼び、特に母集団の分散との意味で、母分散と呼びσ２（シグマ２乗）と表します。
この母分散σ２が母集団のバラツキを表す尺度であるからその平方根σもまた母集団のバラツキの尺度を表します。このσを母標準偏差と呼びます。この意味づけを変曲点として解説している教科書も見かけますので、それに少し触れます。
数学的にと言うか、幾何学的に２乗する事は面積を表し、その平方根は線分を意味しています。σはその計算式において、平均変化率と解釈でき、これは微分係数としての意味を持っており、平均変化率が変化する点（これが変曲点）から分布の中心（平均値）までの距離を表しています。
このことが、σの大きさによって分布の形状が分かる理論的裏付けになっているのであり、例えばある１つのものを繰り返し測定した場合、その測定値の分布は平たい分布（σが大きい）より尖った分布（σが小さい）の方が精度が良いとう事が言えます。また、幾つものデータを寄せ集めた場合に、σが大きいと裾広がりな多様な分布であり、σが小さいと平均値に集中している分布と言うことができます。
これまで、分散や標準偏差の前に母をを付けて母分散とか、母標準偏差などと呼んでいますがこれには一応訳ありです。
一般に集められたデータはその母集団の平均値ｍやσが分からないのが普通です。そこで、実際の解析ではｍやσそのものを使って統計解析をするよりも、ｍやσの推定値を使って解析を行う事が多いのです。したがって、母集団のｍやσを得られたデータから推定することが必要になってきます。
ここで、あくまでも念頭に置きたい事ですが、手元にあるデータから推定した値は厳密に言えば母集団の値そのものではないと言うことです。
母平均ｍの最も良い推定値はきわめて慎重な理論的な検討から母平均ｍを求める式と同じ式で表すことが出来ます。式で書くと
となります。ここで、普通は母平均ｍが分からないので、ｍの代わりにその推定値を使わなければならない制約が出てきます。
と区別されていますし、関数電卓類でも標準偏差を求めるボタンにｎとｎ-1と区別しているものが多いです。
母集団の平均やＳＤから、試料平均やＳＤに話が移るとき、ギリシャ文字（σなど）からローマ文字（ｍとかｓ）に変わっている事に注意して下さい。
当講座では出来るだけ数式の類を分かりやすく説明していくつもりですが、数学書や専門書などを参考にする事も考えて、学術記号はかなり意識して明確に記述していくようにしています。ギリシャ文字やローマ文字に限らず、アラビア文字・数字、大文字・小文字、斜体、などそれぞれ全てなにがしかの定義がされているので、出来る限りそれに沿うように記載していきます。
偏差や分散などは１つの変数の状態でその集団の構造を表すものですが、２つの変数の動きを同時に着目する場合が相関と回帰の考え方です。
よく統計の話の中にコリレーションとか言う言葉が出ますけど、相関は英語でcorrelationと書き、話し手は相関のことを指しています。
２つのデータ値などを比較して関係がありそうだとかを考える時に、相関関係を見ていくのですが、相関が見られるからと言って必ずしも因果関係があるわけではありません。ここではこのことを中心に話します。
２つのデータをＸ軸とＹ軸に対応させたグラフを考えます。このようなグラフを散布図あるいは相関図と呼びます。（図４）データ一つ一つのバラツキが図４の左２つような関係が見られる時２つのデータは何らかの関係があると予想され、これを相関性が伺えるとか言います。
図左のように、一方が大きくなれば他方も大きくなる場合は２つの関係は正の相関があると言い、正の相関あるいは順相関と呼びます。
図の中央のように、一方が大きくなれば他方は小さくなる場合を負の相関があると言い、負の相関あるいは逆相関と呼びます。
２つのデータの相互関係の強さを定量的に表す指標として、相関係数ｒと呼ばれるものがあります。ｒは－１からプラス１の間をとり、ゼロの時は無相関で相関の度合いが強いほどｒの絶対値は１に近づきます。
相関係数の値が±１に近いと言うことはＸとＹの間に強い直線関係があることを意味しています。また、ゼロに近いということは直線関係がないことを意味していますが、必ずしも無関係と言えません。
図５に示すような山形の曲線相関では相関係数がゼロにもかかわらず強い曲線関係が存在するからです。
つまり、相関係数は直線関係についてだけを述べているにすぎません。従って相関係数を計算する前に必ず散布図を作り確認する必要があります。また、仮にある相関係数が0.8と0.2の場合を比較する際、0.8の方が0.2より強い直線関係があることは示せますが、その強さが４倍である事は言えません。更に、高い相関係数を持っていたとしても、ＸとＹの間に直接の因果関係があるとは即断できません。相関係数はそこまで便利な性質は持っていないことに注意して下さい。
相関では、他から遙かに離れた１つの点、外れ値（outlier）が大きな影響を与えます。外れ値は殆どの統計計算に影響を及ぼしますが、特に相関において著しい影響を与えます。図６では１０個の黒点で計算するとｒ＝0.8近辺になり強い相関をしめしますが、１個の外れ値赤点を含めた全てを計算するとｒ＝0.3程度になり相関はあまりない事になります。わずか１個の点を含めるか除外するかで結論に大きな差が出てきます。このことからも相関係数で結論を出す前に散布図をつくりグラフを眺めることが重要となってきます。
また、解析を混乱させるとの理由で外れ値を切り捨てることもよくありますが、安易に切り捨てないで下さい。時として外れ値は最もよい観察結果であることがあり、宝の山になる可能性を含んでいる事があります。
２．全ての対象間の関係は独立であること。対象者が意図的に集められていたりそれぞれを２度測定しそれを２つの別データとして扱ったりなどは独立性が損なわれる。
この５点が満たされていれば因果関係はかなり確実性が高いと言えるでしょう。（必ずしも１～５全てを満たす必要はありません。）
因果関係を調べていく場合には特に擬似相関に注意する事が必要です。擬似相関とは変数Ｘ、Ｙ同士は直接関連がないにもかかわらず、ＸとＺ（結果）に因果関係があり、またＹとＺも因果関係を共有している時変数Ｘ、Ｙ同士に見かけの相関が表れることをいいます。
２つのデータの間で相関性をに因果関係があるかどうかは上記の前提条件を満たしている事を確認の上、因果関係の１～５までの項目を考慮して２つの間の相関の強さを見るために相関係数を求めます。
だだし、標本が少ない場合はこのように言えるとは限らないので、母相関係数の推定・検定を行う必要があります。
相関係数ｒの計算は、統計ソフトのみならずエクセルでもＣＯＲＲＥＬ関数として用意されていますので、通常自分で計算する事はないと思いますが、一応数式は以下に載せておきます。

[] 平均と偏差、分散、相関
[引用サイト]　 http://www.takenet.or.jp/~hayakawa/u-tan1-1.htm
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Last Updated 2007/ 02/ 12/ 22時38分40秒

少し，面白くないところになります。具体的な例題はこの後に出てきますので，その例題で何を行なうか見てからこの章を読んでも構いません。文章が多くなります。
n の標本の平均は母集団がどのような分布であっても，正規分布となります(中心極限定理についてはここをクリック)。それを詳しく述べますと，
となります。このことは，中心極限定理というこうでシミュレーションしましたので，理解できていると思いますが，ここで，具体的にどのように利用するか，もっと分かりやすくしましょう。
標本平均を得るための過程を図で表しますと，右の図のようになります。一般に母集団は，無限個の大きさを持っていて，その平均値は分かっていません。このとき，標本平均は，母集団が正規分布であっても，任意の分布であっても，取出す個数を大きくするとすべて標本の平均は，正規分布にしたがうということです。
注意してほしいことは，正規分布にしたがうものは，平均であるということです。標本の分布が，正規分布になるのではありません。
次に，分散という値は一体何者なのか，その説明をしましょう。余りなじみがない言葉ですね。これは，標準偏差を２乗した値(本来，逆で，標準偏差は分散の平方根)を意味しています。数学的にいうと，平均からどれだけ各データが離れているか，判定する量だと思って下さい。
例えば，山の高さを測定するとき必ず誤差を伴い，富士山が３７７６ｍと言っても測定のたび毎に高さは異なっています。厳密に言えば，測定した平均値といえます。５ｃｍの石が一つあっても変化します。その誤差は，各測定値と平均の差を表しますが，計算処理を行ない易くするため，その差の２乗和を標本数で割った値で表します。その値を分散と呼びます。
ここで一般に，母平均が分からないとき，それを標本平均を用いて推定する方法について考えてみましょう。
n の無作為標本を抽出するとき，標本平均は，n が大きいとき，近似的に正規分布 N(μ,) に従います。このとき，は近似的に標準正規分布 N(0,1) に従います。よって，任意の正の数
が成り立ちます。正規分布は，平均を軸に左右対称なので，p(c)=2P(0≦Z≦c) となります。よって，
となります( 99% のときは，c=2.58とすれば良いですねっ！！)。この意味は，標本から得られた平均の左右
50 の標本を 100 回取り出したときの信頼区間が描かれています。その信頼区間の中に，本当の平均が含まれていない回数を表示するようにしました。
徐々に理解ができてきますので，あきらめないでいきましょう。次の章で，もう少し具体的な例を用いて説明しましょう。

[] 標準偏差は誤差を表す
[引用サイト]　 http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakuc/toukei/estimat/estimate.htm
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Last Updated 2007/ 02/ 12/ 22時38分40秒

大学偏差値、予備校・塾、参考書、受験合格ノウハウ、キャンパス情報を集めています。これを読まずに受験していては・・・・・
大学偏差値ランキング立命館大学偏差値神奈川大学偏差値成蹊大学偏差値関西大学偏差値 07.2.7
当方も偏差値絶対主義なわけではありません。しかしこれからは大学がどんどんつぶれていく減っていく時代です。
大学大学受験のさいには偏差値だけで判断するのはもちろん無意味です。しかし無謀な受験も同じくらい無意味です。
大学受験において案外忘れがちなのは、体力です。どんなに勉強しても、どんなに偏差値の研究を熱心におこなっても、大学受験当日体調を崩したり、厳しい勉強に打ち勝てる体力がなくては話にならないのです。
大学受験の高校受験などとの一番の大きな違いは、高校受験が偏差値さえきっちりチェックしておけば、普通は受かるもの（一部の名門をのぞいて）なのに対して、大学受験のほうは普通落ちる、といっても過言でないほど厳しいということです。
前述したように子供の数が減ったとは言え、しっかりと子供のときから教育され、留学経験などで英語に圧倒的アドバンテージを持つ生徒も少なくありません。
語は勉強量が求められますから、その分を他の教科のパワーアップに当てるというのも非常に面白い戦術だと思います。
しかし！やはり英語ぬきで大学受験に臨むのはかえってキツイ。これが多くの受験生にとっての現実ではないでしょうか？
しかし、10単語がある文章の中に1～2個しかし知っている単語がなければ類推も何もあったものではありません。そしてこれが多くの受験生の現実ではないでしょうか？
信じられないほど驚異的な受験勉強法で大学受験を攻略したい！そんなあなたの声に応える便利なサイトを目指しています。
偏差値偏重の教育がいたるところで批判されています。大学受験においても同様です。もちろん偏差値「だけ」を重視するような社会というのは魅力のないモノクロの社会になってしまうでしょう。出身大学の偏差値だけで人格まで測られるような風潮は恥ずべきことだと思います。
しかし「偏差値偏重が悪い！」などといって開き直るのは大学受験生の取るべき態度ではありません。たとえ納得いかない現実でも真正面から受け入れて乗り越えるパワーが求められているのは紛れもない事実なのです。それに教育改革がしたいなら文部省の高官を目指す手もありますし。
大学受験という目の前の壁を乗り越えられない人が「偏差値偏重が悪い！」などと言っても残念ながら説得力が弱いのです。一昔前のCMのコピーでこんなのがありました「偏差値なんて関係ない・・・東大出てからいってみたい。」壁を乗り越えた人間の言動こそ信憑性があるってことです。
青森中央学院大学の偏差値水準は高くなく入りやすい大学といえるでしょう。青森中央学院大学は青森県青森市の私立大学で1998年に創立された新しい大学です。
大学受験といえば、予備校や塾のような大学入試攻略を生業にしている方も多いですし、大学検定なども非常に注目され続けているテーマです。
予備校や塾での日常をテーマにしたドラマ・漫画・映画などでも再三にわたって取り上げられてきました。
しかし、青春時代の一時を大学受験勉強に大変な労力や時間をかけて費やすわけですから、大学受験を取り上げれば、その背景にある、恋愛・スポーツ・親や社会への反抗、などなど無数の興味深いテーマが浮かんできます。
大学（だいがく、英: University）とは、そもそも、学問に基づいた高等教育を行う教育施設。日本を含む多くの国で、最高学府と位置づけられています。
大学受験の動向ですが、東大をはじめ国立大学では定員数の削減を次々と明示してきています。少子化が進んでも予備校や塾がそれほど減っていないのも頷けます。大学検定受験者も増加しています。
少子化社会のなかで、一定の学力水準を保とうという意図がうかがえます。偏差値>にも大きな影響を与え、少子化で下がるはずの偏差値が国立大学に関しては極端には下がってはいません。
偏差値偏重教育が日本をダメにするとか、そんな意見もかつてはよく聞かれましたが、詰め込み教育賛成論者が増えるなどここにきて復興の兆しもみせています。
そんなこともよく言われます。確かに即役に立つものは少ないかもしれません。見直しの余地も十分あるでしょう。
しかし、学校教育とは野球に例えれば、ランニングとか柔軟体操とか腕立てとか、そういったものではないでしょうか？
世間でなかなか役に立たないような知識でも、脳ミソの筋トレには間違いなくなっているのです。このことは忘れてはいけないと思います。
大学受験は偏差値とにらめっこしていてもダメなのは当然です。自分が苦しいときは他人も苦しいときです。
そんなときこそがチャンスです。ライバルが苦しいときにどれだけ頑張れるか、これが大学受験最大のポイントかもしれませんね。

[] 大学偏差値塾
[引用サイト]　 http://tabutijyuku.livedoor.biz/
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